ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ.
I.
Взаимно обратные функции:
О: Две функции f и g называются взаимно обратными, если равенство y = f(x) верно тогда и только тогда, когда верно равенство x = g(y).
Свойства:
1. f(g(y)) = y или g(f(x)) = x
2. D(f) =E(g) и E(f) = D(g)
3. если f возрастает, то и g возрастает
если f убывает, то и g убывает
4. Графики симметричны относительно
прямой y = x
5. Свойство производной: g'(x) = 1/ f '(g(x))
II. Обратные тригонометрические функции:
Рассмотрим функцию y = sin x
на промежутке [-p /2; p /2]
Тогда существует обратная:
y = arcsin x
Рассмотрим функцию y = cos x
на промежутке [ 0; p ]
Тогда существует обратная:
y = arccos x
Рассмотрим функцию y = tg x
на промежутке [-p /2; p /2]
Тогда существует обратная:
y = arctg x
Рассмотрим функцию y = ctg x
на промежутке [ 0; p ]
Тогда существует обратная:
y = arcctg x
III Формулы
arcsin(-x) = - arcsin x
arccos(-x) = p - arccos x
arctg(-x) = - arctg x
arcctg(-x) = p - arcctg x
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x
sin(arccos x) = Ö 1 - x2
cos(arcsin x) = Ö 1 - x2
cos(arctg x) = 1/Ö 1+ x2
sin(arctg x) = x /Ö 1+ x2
tg(arcsin x) = x /Ö 1- x2
arcsin x + arccos x = p /2
arctg x + arcctg x = p / 2
tg(arcctg x) = ctg(arctg x) = 1/ x
IV. Производные обратных триг.
ф-ий:
Пример: Найти производную функции: y = arctg x3 Решение: y' = (arctg x3)'
= 3x2* 1/(1+ x6 ) =
3x2/(1+ x6 )
arcsin'
x = 1 /Ö 1- x2
arccos' x = -1 /Ö 1- x2
arctg' x = 1/(1+ x2)
arcctg' x = -1/(1+ x2)